谷歌浏览器插件请求跨域失败，可尝试以下快速修复方法：
1. 检查跨域请求设置：明确目标服务器是否允许跨域请求。若不允许，需在服务器端进行配置，如添加CORS（跨域资源共享）相关设置，允许特定来源或所有来源的跨域请求。
2. 配置manifest.json文件：在插件的manifest.json文件中，确保正确设置了权限和来源等相关信息。例如，对于需要跨域请求的资源，需在“permissions”字段中声明相应的权限。
3. 使用代理服务器：搭建一个代理服务器，将插件的跨域请求先发送到代理服务器，由代理服务器再转发给目标服务器。这样可以避免浏览器直接对跨域请求的限制，但需注意代理服务器的性能和安全性问题。
4. 利用消息传递机制：如果是在插件内部不同部分之间进行跨域通信，可利用Chrome扩展的消息传递机制来代理API请求，实现数据的传递和交互。